MODA
En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:
Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.
Moda de datos agrupados
Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:
Donde:
Li − 1 = Límite inferior de la clase modal.
D1 = Frecuencia absoluta modal sobre la clase contigua inferior.
D2 = Frecuencia absoluta modal sobre la clase contigua superior.
i = intervalo.
D1 = Frecuencia absoluta modal sobre la clase contigua inferior.
D2 = Frecuencia absoluta modal sobre la clase contigua superior.
i = intervalo.
[editar] Ejemplo
Encontrar la estatura modal de un grupo que se encuentra distribuido de la siguiente forma:
Entre 1.70 y 1.80 hay 8 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 10 estudiantes.
Entre 1.50 y 1.60 hay 4 estudiantes.
Entre 1.70 y 1.80 hay 8 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 10 estudiantes.
Entre 1.50 y 1.60 hay 4 estudiantes.
[editar] Método proyectivo
Con base en el Método Proyectivo se obtiene la moda de la siguiente manera usando el ejemplo anterior:
1.- Se Identifica la clase modal, que es la clase que tiene más frecuencias.
2.- Se identifica las diferencias con las clases vecinas.
3.- Se hace un cambio de escala
1.- Se Identifica la clase modal, que es la clase que tiene más frecuencias.
2.- Se identifica las diferencias con las clases vecinas.
3.- Se hace un cambio de escala
En el Ejemplo anterior:
1.- Clase con más frecuencias: 1.60 a 1.70 (con 10 frecuencias)
2.- Diferencias con las clases vecinas: 2 (clase superior) y 6 (clase inferior) que se obtiene de restar (10-8) y (10-4)
3.-Cambio de escala:
Distancia parcial en la escala uno es a la distancia total de la misma escala como el valor buscado es a la distancia total de la escala dos.
1.- Clase con más frecuencias: 1.60 a 1.70 (con 10 frecuencias)
2.- Diferencias con las clases vecinas: 2 (clase superior) y 6 (clase inferior) que se obtiene de restar (10-8) y (10-4)
3.-Cambio de escala:
Distancia parcial en la escala uno es a la distancia total de la misma escala como el valor buscado es a la distancia total de la escala dos.
Resolviendo:
Se suma 0.075 (la distancia parcial) a 1.60 (el límite inferior), obteniéndose la moda.
Mediana (estadística)
En el ámbito de la estadística, la mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.Datos sin agrupar
Seana) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n + 1) / 2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Me = x(n + 1) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9 => El valor central es el tercero: x(5 + 1) / 2 = x3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x1, x2) y otros dos por encima de él (x4, x5).
b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n / 2 y n / 2 + 1. Es decir: Me = (xn / 2 + xn / 2 + 1) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9, x6 = 10 => Hay dos valores que están por debajo del
Media (estadística)
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica, armónica y cuadrática de dos números a y b.
En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.Ejemplos de medias
Existen numerosos ejemplos de medias
Media aritmética
La media aritmética es un promedio estándar que a menudo se denomina "promedio".
La media se confunde a veces con la mediana o moda. La media aritmética es el promedio de un conjunto de valores, o su distribución; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda. La media o moda son elementos intuitivos de medir los datos. Es a veces una forma de medir el sesgo de una distribución tal y como se puede hacer en las distribuciones exponencial y de Poisson.
Por ejemplo, la media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es
Media aritmética ponderada
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si X1,X2,...,Xn es un conjunto de datos o media muestral y w1,w2,...,wn son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se define la media ponderada relativa a esos pesos como:
La media es invariante frente a transformaciones lineales, cambio de origen y escala, de las variables, es decir si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria que depende linealmente de X, es decir, Y = a·X + b (donde a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen) se tiene que:
Media geométrica
Artículo principal: Media geométrica
La media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.
Por ejemplo, la media geométrica de la serie de números 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es
Media armónica
Artículo principal: Media armónica
La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).
Por ejemplo, la media armónica de los números: 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:
Generalizaciones de la media
Existen diversas generalizaciones de las medias anteriores.
Media generalizada
Artículo principal: Media generalizada
Las medias generalizadas, también conocidas como medias de Hölder, son una abstracción de las medias cuadráticas, aritméticas, geométricas y armónicas. Se definen y agrupan a través de la siguiente expresión:
Eligiendo un valor apropiado del parámetro m, se tiene:
Media-f generalizada
Esta media puede generalizarse para una función monótona como la media-f generalizada:
y una forma posible de de invertir f nos dará
Media de una función
Para una función continua f sobre un intervalo [a,b], se puede calcular el valor medio de función f sobre [a,b] como:
De hecho la definición anterior vale aún para una función acotada aunque no sea continua.
Media estadística
La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:
- La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
- La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.
En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.
Media muestral
La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:
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